WildWind Опубликовано: 9 марта 2015 Рассказать Опубликовано: 9 марта 2015 http://4brain.ru/schitat-v-ume/ Автор: Евгений Буянов Урок 1. Внимание и концентрация Чтобы научиться считать в уме по-настоящему быстро, необходимо уметь концентрироваться на конкретном примере. Этот навык полезен не только для совершения математических операций, но и для решения любых жизненных задач. Умение быть внимательным в нужный момент – это навык, который выделяет великих ученых, спортсменов, политиков, несомненно, пригодится и вам. Последовательность арифметических операций в уме Для начала попробуйте в уме решить следующую задачу и запишите ответ в поле справа: Задача 1 Возьмите 3000. Прибавьте 30. Прибавьте еще 2000. Добавьте еще 10. Плюс 2000. Добавьте еще 20. Плюс 1000. И плюс 30. Плюс 1000. И плюс 10. Ваш ответ:Проверьте свое решение → Ответ: 9 100. Если вы решили задачу правильно и быстро, то вы смогли сконцентрироваться на цифрах и избежали соблазна получить красивый ответ. Именно такой подход нужен для устного счета. Попробуйте решить еще и другие похожие задачи на тренировку вычитания, деления и умножения в уме. Задачи на внимание 3000 – 700 - 60 – 500 - 40 – 300 -20 – 100 Ваш ответ: 1*2*3*4*3*2*1 Ваш ответ: 100:2:2*3*2 + 50 – 100 + 200 – 30 Ваш ответ: 26+88+13+19 Ваш ответ:Проверьте свое решение → Ответы: 1280, 144, 270, 146 Тренировка внимания при счете в уме Если решение этих примеров дается вам с трудом, вы можете воспользоваться специальными упражнениями и техниками, которые помогут вам сконцентрироваться. Многие из этих приемов вы сможете встретить в других тренингах. Здесь же описаны именно те приемы, которые полезны для концентрации внимания в процессе устного счета. Визуализация. Считая в уме, важно ясно представлять себе решаемый пример. Запоминать промежуточные результаты нужно не на слух, а так как они выглядят, если бы вы их записали. Тренировать визуальное восприятие можно разными способами. Отчасти визуализация решения приходит с опытом. Кроме того, описанные ниже приемы также помогут повысить вашу способность зрительно представлять себе необходимые арифметические действия при решении любого примера. Игры. Пытайтесь всегда находить что-то интересное в рутине, превращая любое действие в игру. Так поступают хорошие родители, которые хотят, чтобы их чадо выполнило какую-то скучную работу. Игры свойственны многим живым существам, это вложено в нас на генетическом уровне. В игре важен азарт! Азарт (франц. hasard) - увлечение, задор, запал, излишняя горячность. Чтобы создать азартную игру, вы должны определиться с правилами этой игры и установить четкие условия победы в этой игре. Тогда ваш азарт будет вынуждать вас быть более внимательным и сконцентрированным. Состязательность. Подавляющее большинство людей азартны в попытке «быть лучше» соперника. Поэтому индивидуальные занятия не так эффективны, как групповые. И в устном счете вы можете найти себе соперника и пытаться его превзойти. Личные рекорды. Еще одним фактором, создающим азарт при счете, может стать борьба с самим собой для достижения определенного результата. Личные рекорды можно ставить в скорости счета, в количестве решенных примеров и во многом другом. Скучная работа. Некоторые специалисты советуют при выполнении скучной работы смотреть в окно или наблюдать за стрелкой часов. Так, если вы будете ежедневно какое-то время пытаться выполнять очень скучную работу, ваш организм сам начнет искать методы адаптации к этой рутине. Внешние раздражители. Некоторые люди обладают одной очень важной способностью: они могут заниматься каким-то делом, когда вокруг них шум и суматоха. Часто это является делом привычки, например, когда человек живет в небольшой квартире или общежитии, и ему приходится адаптироваться к сложным условиям и уметь заниматься, не обращая внимания ни на что. Сложные условия делают человека более внимательным, учат его отключаться от внешних раздражителей и заниматься тем, что ему нужно. Попробуйте искусственно создавать себе сложные условия и пытайтесь концентрироваться на счете в уме, когда вы слушаете музыку, когда вокруг ходят люди, работает телевизор. Состояние транса, по наблюдениям специалиста по гипнозу М. Эриксона, характеризуется повышенным вниманием, способностью не реагировать на внешние раздражители, а также возможностью игнорировать сигналы некоторых органов чувств. Так, в состоянии транса человек может принять позу, которая неудобна в обычном состоянии, и провести в этой позе достаточно длительное время. Например, читая интересную книгу и положив ногу на ногу, через полчаса в перерыве мы можем обнаружить, что одна нога сильно затекла. Но во время чтения вы не думали о ноге, вы были в состоянии повышенного внимания к книге, ваше зрительное восприятие работало настолько сильно, что сигналы остальных органов чувств просто не воспринимались мозгом. Также смотрите упражнения в Уроке 1 по быстрому чтению. Цитата Ссылка на комментарий Поделиться на других сайтах More sharing options...
WildWind Опубликовано: 9 марта 2015 Автор Рассказать Опубликовано: 9 марта 2015 Урок 2. Простые арифметические закономерности Чтобы уметь решать сложные арифметические задачи, нужно для начала хорошенько усвоить некоторые базовые закономерности. Скорее всего, они у вас не вызовут трудностей. Однако уделите этим задачам должное внимание, поскольку от того, как быстро вы сможете считать простейшие примеры, напрямую зависит ваше умение быстро выполнять более сложные математические операции. Счет на автомате Существует определенный набор простейших арифметических правил и закономерностей, которые не только нужно знать для устного счета, но и постоянно держать в голове, чтобы в нужный момент оперативно применить самый эффективный алгоритм. Для этого необходимо довести их использование до автоматизма, закрепить в машинальной памяти, чтобы от решения самых простых примеров успешно перейти к более сложным арифметическим действиям. Вот основные алгоритмы, которые нужно знать, помнить и применять мгновенно, автоматически: Вычитание 7, 8, 9. Чтобы вычесть 9 из любого числа, нужно вычесть из него 10 и прибавить 1. Чтобы вычесть 8 из любого числа, нужно вычесть из него 10 и прибавить 2. Чтобы вычесть 7 из любого числа, нужно вычесть из него 10 и прибавить 3. Если обычно вы считаете по-другому, то для лучшего результата вам нужно привыкнуть к этому новому способу. Умножение на 9. Быстро умножить любое число на 9 можно следующим образом: сначала умножьте это число на 10 (просто добавьте ноль в конце), а затем вычтите из результата само число. Например: 89*9=890-89=801. Эту операцию необходимо довести до автоматизма. Умножение на 2. Для устного счета очень важно уметь быстро умножать любое число на 2. Для умножения на 2 некруглых чисел пробуйте округлять их до ближайших более удобных. Так 139*2 проще считать, если сначала умножить 140 на 2 (140*2=280), а потом вычесть 1*2=2 (именно 1 нужно прибавить к 139, чтобы получить 140). Итого: 140*2-1*2=280-2=278. Деление на 2. Для устного счета также важно уметь быстро делить любое число на 2. Несмотря на то, что многим умножение и деление на 2 дается достаточно просто, в сложных случаях так же пытайтесь округлять числа. Например, чтобы разделить 198 на 2, нужно сначала разделить 200 (это 198+2) на 2 и отнять 1 (1 мы получили, разделив прибавленные 2 на 2). Итого: 198/2=200/2-2/2=100-1=99. Деление и умножение на 4 и 8. Деление (или умножение) на 4 и на 8 являются двукратным или трехкратным делением (или умножением) на 2. Производить эти операции удобно последовательно. Например, 46*4=46*2*2 =92*2= 184. Умножение на 5. Умножать на 5 очень просто. Умножение на 5, и деление на 2 – это практически одно и то же. Так 88*5=440, а 88/2=44, поэтому всегда умножайте на 5, поделив число на 2 и умножив его на 10. Умножение на 25. Умножение на 25 соответствует делению на 4 (с последующим умножением на 100). Так 120*25 = 120/4*100=30*100=3000. Умножение на однозначные числа. Чтобы быстро считать в уме, полезно уметь умножать двузначные и трехзначные числа на однозначные. Для этого нужно умножать двух- или трехзначное число поразрядно. Например, умножим 83*7. Для этого сначала умножим 8 на 7 (и допишем ноль, так как 8 - разряд десятков), и прибавим к этому числу произведение 3 и 7. Таким образом, 83*7=80*7 +3*7= 560+21=581. Возьмем более сложный пример: 236*3. Итак, умножаем сложное число на 3 поразрядно: 200*3+30*3+6*3=600+90+18=708. Определение диапазонов. Чтобы не запутаться в алгоритмах и по ошибке не выдать совсем неверный ответ, важно уметь строить примерный диапазон ответов. Так умножение однозначных чисел друг на друга может дать результат не более 90 (9*9=81), двузначных - не более 10 000 (99*99=9801), трехзначных не более - 1 000 000 (999*999=998001). Деление 1000 на 2, 4, 8, 16. И наконец, полезно знать деление чисел, кратных 10 на числа, кратные двум: 1000=2*500=4*250=8*125=16*62,5. Примечание. Эти закономерности являются ключевыми для счета в уме. Если какая-то из них вызывает у вас трудность – потренируйтесь, так как дальнейшие алгоритмы потребуют быстрого совершения описанных выше арифметических операций. Автор: Евгений Буянов Цитата Ссылка на комментарий Поделиться на других сайтах More sharing options...
WildWind Опубликовано: 9 марта 2015 Автор Рассказать Опубликовано: 9 марта 2015 Урок 3. Традиционное умножение в уме Давайте рассмотрим, как можно умножать двузначные числа, используя традиционные методы, которым нас обучают в школе. Некоторые из этих методов, могут позволить вам быстро перемножать в уме двузначные числа при достаточной тренировке. Знать эти методы полезно. Однако важно понимать, что это лишь вершина айсберга. В данном уроке рассмотрены наиболее популярные приемы умножения двузначных чисел. Первый способ – раскладка на десятки и единицыСамым простым для понимания способом умножения двузначных чисел является тот, которому нас научили в школе. Он заключается в разбиении обоих множителей на десятки и единицы с последующим перемножением получившихся четырех чисел. Этот метод достаточно прост, но требует умения удерживать в памяти одновременно до трех чисел и при этом параллельно производить арифметические действия. Например: 63*85 = (60+3)*(80+5) = 60*80 + 60*5 +3*80 + 3*5=4800+300+240+15=5355 Проще такие примеры решаются в 3 действия. Сначала умножаются десятки друг на друга. Потом складываются 2 произведения единиц на десятки. Затем прибавляется произведение единиц. Схематично это можно описать так: Первое действие: 60*80 = 4800 - запоминаем Второе действие: 60*5+3*80 = 540 – запоминаем Третье действие: (4800+540)+3*5= 5355 – ответ Для максимально быстрого эффекта потребуется хорошее знание таблицы умножения чисел до 10, умение складывать числа (до трехзначных), а также способность быстро переключать внимание с одного действия на другое, держа предыдущий результат в уме. Последний навык удобно тренировать путем визуализации совершаемых арифметических операций, когда вы должны представлять себе картинку вашего решения, а также промежуточные результаты. Вывод. Не трудно убедиться в том, что этот способ не является самым эффективным, то есть позволяющим при наименьших действиях получить правильный результат. Следует принять во внимание другие способы. Второй способ – арифметические подгонкиПриведение примера к удобному виду является достаточно распространенным способом счета в уме. Подгонять пример удобно, когда вам нужно быстро найти примерный или точный ответ. Желание подгонять примеры под определенные математические закономерности часто воспитывается на математических кафедрах в университетах или в школах в классах с математическим уклоном. Людей учат находить простые и удобные алгоритмы решения различных задач. Вот некоторые примеры подгонки: Пример 49*49 может решаться так: (49*100)/2-49. Сначала считается 49 на сто – 4900. Затем 4900 делится на 2, что равняется 2450, затем вычитается 49. Итого 2401. Произведение 56*92 решается так: 56*100-56*2*2*2. Получается: 56*2= 112*2=224*2=448. Из 5600 вычитаем 448, получаем 5152. Этот способ может оказаться эффективнее предыдущего только в случае, если вы владеете устным счетом на базе перемножения двузначных чисел на однозначные и можете держать в уме одновременно несколько результатов. К тому же приходится тратить время на поиск алгоритма решения, а также уходит много внимания за правильным соблюдением этого алгоритма. Вывод. Способ, когда вы стараетесь умножить 2 числа, раскладывая их на более простые арифметические процедуры отлично тренирует ваши мозги, но связан с большими мысленными затратами, а риск получить неправильный результат выше, чем при первом методе. Третий способ - мысленная визуализация умножения в столбик56*67 – посчитаем в столбик. Наверное, счет столбиком содержит максимальное количество действий и требует постоянно держать в уме вспомогательные числа. Но его можно упростить. Во втором уроке рассказывалось, что важно уметь быстро умножать однозначные числа на двузначные. Если вы уже умеете это делать на автомате, то счет в столбик в уме для вас будет не таким уж и трудным. Алгоритм таков Первое действие: 56*7 = 350+42=392 – запомните и не забывайте до третьего действия. Второе действие: 56*6=300+36=336 (ну или 392-56) Третье действие: 336*10+392=3360+392=3 752 – тут посложнее, но вы можете начинать называть первое число, в котором уверены – «три тысячи…», а пока говорите, складывайте 360 и 392. Вывод: счет в столбик напрямую сложен, но вы можете, при наличии навыка быстрого умножения двузначных чисел на однозначные, его упросить. Добавьте в свой арсенал и этот метод. В упрощенном виде счет в столбик является некоторой модификацией первого метода. Что лучше – вопрос на любителя. Как можно заметить, ни один из описанных выше способов не позволяет считать в уме достаточно быстро и точно все примеры умножения двузначных чисел. Нужно понимать, что использование традиционных способов умножения для счета в уме не всегда является рациональным, то есть позволяющим при наименьших усилиях достигать максимального результата. Цитата Ссылка на комментарий Поделиться на других сайтах More sharing options...
WildWind Опубликовано: 9 марта 2015 Автор Рассказать Опубликовано: 9 марта 2015 Урок 4. Частные методики умножения двузначных чисел до 30 Преимуществом трех способов умножения двузначных для устного счета, описанных в прошлом уроке, состоит в том, что они универсальны для любых чисел и при хорошем навыке устного счета, они могут позволить вам достаточно быстро прийти к правильному ответу. Однако, эффективность умножения некоторых двузначных чисел в уме может быть выше за счет меньшего количества действий при использовании специальных алгоритмов. В этом уроке вы узнаете, как можно быстро умножать любые числа до 30. Здесь представлены специальные методики, в том числе и введение в использование опорного числа. Умножение на 11Чтобы умножить любое двузначное число на 11, нужно между первой и второй цифрой умножаемого числа вписать сумму первой и второй цифры. Например: 23*11, пишем 2 и 3, а между ними ставим сумму (2+3). Или короче, что 23*11= 2 (2+3) 3 = 253. Если сумма чисел в центре дает результат больше 10, тогда добавляем единицу к первой цифре, а вместо второй цифры пишем сумму цифр умножаемого числа минус 10. Например: 29*11 = 2 (2+9) 9 = 2 (11) 9 = 319. Умножать на 11 таким способом можно любые двузначные числа. Для наглядности приведены примеры: 81 * 11 = 8 (8+1) 1 = 891 68 * 11 = 6 (6+8) 8 = 748 Быстро умножать на 11 устно можно не только двузначные числа, но и любые другие числа - об этом читайте в данной статье, а также в книге "Система быстрого счета по Трахтенбергу". Квадрат суммы, квадрат разностиДля того чтобы возвести в квадрат двузначное число, можно воспользоваться формулами квадрата суммы или квадрата разности. Например: 232= (20+3)2 = 202 + 2*3*20 + 32 = 400+120+9 = 529 692 = (70-1)2 = 702 – 70*2*1 + 12 = 4 900-140+1 = 4 761 Возведение в квадрат чисел, заканчивающихся на 5Чтобы возвести в квадрат числа, заканчивающиеся на 5. Алгоритм прост. Число до последней пятерки, умножаем на это же число плюс единица. К оставшемуся числу добавляем 25. 152 = (1*(1+1)) 25 = 225 252 = (2*(2+1)) 25 = 625 852 = (8*(8+1)) 25 = 7 225 Это верно и для более сложных примеров: 1552 = (15*(15+1)) 25 = (15*16)25 = 24 025 Умножение чисел до 201 шаг. Для примера возьмём два числа – 16 и 18. К одному из чисел прибавляем кол-во единиц второго – 16+8=24 2 шаг. Полученное число умножаем на 10 – 24*10=240 3 шаг. Далее к результату прибавляем произведение единиц 16 и 18 – 240+6*8=288 Методика умножения чисел до 20 очень проста: Если записать короче, то: 16*18 = (16+8)*10+6*8 = 288 Доказать правильность этого метода просто: 16*18 = (10+6)*(10+8) = 10*10+10*6+10*8+6*8 = 10*(10+6+8) +6*8. Последнее выражение и является демонстрацией описанного выше метода. По сути, этот метод является частным способом использования опорных чисел (о которых будет сказано в следующем уроке ссылка). В данном случае опорным числом является 10. В последнем выражении доказательства видно, что именно на 10 мы умножаем скобку. Но в качестве опорного числа можно использовать и любые другие числа, из которых наиболее удобными являются 20, 25, 50, 100… Подробнее о методе использования опорного числа читайте в следующем уроке. Опорное числоПосмотрите на суть этого метода на примере умножения 15 и 18. Здесь удобно использовать опорное число 10. 15 больше десяти на 5, а 18 больше десяти на 8. Для того, чтобы узнать их произведение, нужно совершить следующие операции: 15*18 К любому из множителей прибавить число, на которое второй множитель больше опорного. То есть прибавить 8 к 15, или 5 к 18. В первом и втором случае получается одно и то же: 23. Затем 23 умножаем на опорное число, то есть на 10. Ответ: 230 К 230 прибавляем произведение 5*8. Ответ: 270. Цитата Ссылка на комментарий Поделиться на других сайтах More sharing options...
WildWind Опубликовано: 9 марта 2015 Автор Рассказать Опубликовано: 9 марта 2015 Урок 5. Опорное число при умножении чисел до 100 Наиболее популярной методикой умножения больших чисел в уме является прием использования, так называемого, опорного числа. В прошлом уроке, когда показывался способ умножения числе до 20, по сути мы использовали опорное число 10. Также стоит отметить, что подробнее вы можете ознакомиться с методикой использования опорного числа в книге "Считайте в уме как компьютер" Билла Хэндли. Общие правила использования опорного числаОпорное число полезно при перемножении чисел, находящихся близко и при возведении в квадрат. Как можно использовать метод опорного числа вы уже поняли из прошлого урока, теперь давайте обобщим все сказанное. Опорное число при умножении – это число, к которому близко находятся оба множителя и на которое удобно умножать. При умножении чисел до 100 опорными числами удобно использовать все числа кратные 10, а особенно 10, 20, 50 и 100. Методика использование опорного числа зависит от того, являются ли множители больше или меньше опорного числа. Тут возможны три случая. Покажем, все 3 методики на примерах. Оба числа меньше опорного (под опорным)Допустим, мы хотим умножить 48 на 47. Эти числа находятся достаточно близко к числу 50, а следовательно удобно использовать 50 в качестве опорного числа. Чтобы умножить 48 на 47, используя опорное число 50, нужно: 47*48Из 47 вычесть столько, сколько не хватает 48 до 50, то есть 2. Получается 45 (или из 48 вычесть 3 – это всегда одно и то же) Дальше 45 умножаем на 50 = 2250 Затем прибавляем 2*3 к этому результату и вуа ля – 2 256! Схематично в уме удобно представлять приведенную ниже табличку. 50 (опорное число) 48 * 47 (48-3)*50 = 45*50 = 2 250 (или (47-2)*50 = 45*50 вспомните, что умножение на 5 – это тоже самое что деление на 2) 2 * 3 +6 Ответ: 2 250 + 6 = 2 256 Опорное число пишем слева от произведения. Если числа меньше опорного, то разница между ними и опорным пишется ниже этих чисел. Справа от 48*47 пишем расчет с опорным числом, справа от остатков 2 и 3 пишем их произведение. Если использовать упрощенную схему, то решение выглядит так: 47*48=45*50 + 6= 2 256 Посмотрим другие примеры: Умножить 18*19 20 (опорное число) 18 * 19 (18-1)*20 = 340 2 * 1 +2 Ответ: 342 Короткая запись: 18*19 = 20*17+2 = 342 Умножить 8*7 10 (опорное число) 8 * 7 (8-3)*10 = 50 2 * 3 +6 Ответ: 56 Короткая запись: 8*7 = 10*5+6 = 56 Умножить 98*95 100 (опорное число) 98 * 95 (95-2)*100 = 9300 2 * 5 +10 Ответ: 9310 Короткая запись: 98*95 = 100*93 + 10 = 9 310 Умножить 98*71 100 (опорное число) 98 * 71 (71-2)*100 = 6900 2 * 29 +58 Ответ: 6958 Короткая запись: 98*71 = 100*69 + 58 = 6 958 Оба числа больше опорного (над опорным)Допустим, мы хотим умножить 54 на 53. Эти числа находятся достаточно близко к числу 50, а следовательно удобно использовать 50 в качестве опорного числа. Но в отличие от предыдущих примеров, эти числа больше опорного. По сути, модель их умножения не меняется, но теперь нужно не вычитать остатки, а прибавлять. К 54 прибавить столько, на сколько 53 превышает 50, то есть 3. Получается 57 (или к 53 прибавить 4 – это всегда одно и то же) Дальше 57 умножаем на 50 = 2 850 (умножение на 50 – схоже с делением на 2) Затем прибавляем 4*3 к этому результату. Ответ: 2862 4 * 3 +12 50 (опорное число) 54 * 53 (54+3)*50 = 2 850 или (53+4)*50 = 57*50 (вспомните, что умножение на 5 – это тоже самое что деление на 2) Ответ: 2 862 Короткое решение выглядит так: 50*57+12 = 2 862 Для наглядности еще ниже приведены примеры: Умножить 23*27 3 * 7 +21 20 (опорное число) 23 * 27 (23+7)*20 = 600 Ответ: 621 Короткая запись: Короткая запись: 23*27 = 20*30 + 21 = 621 Умножить 51*63 1 * 13 +13 50 (опорное число) 51 * 63 (63+1)*50 = 3 200 Ответ: 3 213 Короткая запись: Короткая запись: 51*63 = 64*50 + 13 = 3 213 Одно число под опорным, а другое надТретий случай использования опорного числа – когда одно число больше опорного, а другое меньше. Такие примеры решаются не сложнее, чем предыдущие. Умножить 45*52Произведение 45*52 считается так: Из 52 вычитаем 5 или к 45 прибавляем 2. В любом обоих случая получается: 47 Дальше 47 умножаем на 50 = 2 350 (умножение на 50 – схоже с делением на 2) Затем вычитаем (а не прибавляем, как раньше!) 2*5. Ответ: 2 340 2 50 (опорное число) 45 * 52 (45+2)*50 = 2 350 5 -10 Ответ: 2 340 Короткая запись: 45*52 = 47*50-10 = 2 340 Также поступаем с подобными примерами: Умножить 91*103 3 100 (опорное число) 91 * 103 (91+3)*100 = 9400 9 -27 Ответ: 9 373 Только одно число близко к опорному, а другое нетКак вы уже видели из примеров, опорным числом удобно пользоваться, если даже только одно число близко к опорному. Желательно, чтобы разница этого числа с опорным составляла не более 2-x или 3-х или была равна числу, на которое удобно умножать (например, 5, 10, 25 – см. второй урок) Умножить 48*73 23 50 (опорное число) 48 * 73 (73-2)*50 = 3 550 2 -46 Ответ: 3 504 Короткое решение: 48*73 = 71*50 – 23*2 = 3 504 Умножить 23*69 3 49 147 20 (опорное число) 23 * 69 (3+69)*20 = 1440 Ответ: 1 587 Короткая запись: Короткое решение: 23*69 = 72*20 + 147 = 1 587 - чуть сложнее Умножить 98*41 100 (опорное число) 98 * 41 (41-2)*100 = 3900 2 * 59 +118 Ответ: 4018 Короткая запись: Короткая запись: 98*41 = 100*39 + 118 = 4 018 Таким образом, с помощью использования одного опорного числа можно умножать большую комбинацию двузначных чисел. Если у вас получается хорошо умножать на 30, 40, 60, 70 или 80 – тогда, вы сможете с помощью этой методики умножать любые числа (до 100 и даже больше). Использование нескольких опорных чиселМетодика умножения с использованием опорных чисел позволяет использовать и 2 опорных числа. Это удобно, когда опорное число одного множителя можно выразить через опорное число другого. Например, в произведении «23 * 88» удобно использовать опорное число 20 для 23 и 80 для 88. Умножение этих чисел с помощью двух опорных удобно, потому что 20=80:4. Методика 2-х опорных чисел заключается в том, что мы сначала делим 88 на 4 и получаем 22, производим умножение 23 на 22 и произведение умножаем снова 4. То есть, мы сначала делим произведение на 4, а потом умножаем на 4. Получается: 23*22 = 250*2+6= 506, а 506*4 = 2024 – это и есть ответ! Для визуализации можно использовать уже привычную схему. Произведение23*88 считается так: Записываем удобное опорное число «20» и рядом приписываем множитель 4, с помощью которого можно выразить 80 через 20. Дальше делаем, как и раньше, пишем, на сколько 23 превышает 20 (3), а 88 превышает 80 (8). Выше тройки пишем произведение 3 на 4 (то есть 3 на множитель опорного). К 88 прибавляем произведение 3 на 4 и умножаем на опорное (20), получается 100*20 = 2000 Прибавляем к 2000 произведением 3-х и 8-и. Результат: 2024 3*4=12 3 * 8 +24 20*4 (опорное число) 23 * 88 (88+12)*20 = 2 000 Ответ: 2 024 Короткая запись: 23*88 = (88+3*4)*20 + 24 = 2024 Теперь давайте попробуем умножить 23*88, используя опорное число 100 для 88 и 25 для 23. В этом случае главным опорным числом является 100. А 25 можно записать, как 100:4=25 100:4 (опорное число) 23 * 88 (23-3)*100 = 2 000 2 12 +24 12:4=3 Ответ: 2 024 Короткая запись: 23*88 = (23+12:4)*100 + 24 = 2024 Как видим, ответ получается один и тот же. Способ с использованием двух опорных чисел несколько сложнее, и требует дополнительных действий. Во-первых, вы должны понять, какие 2 опорных числа вам удобно использовать. Во-вторых, нужно совершить дополнительное действие, для поиска числа, которое нужно умножать на опорное. Эту методику, применяйте лучше тогда, когда вы уже достаточно хорошо усвоили умножение с одним опорным числом. Цитата Ссылка на комментарий Поделиться на других сайтах More sharing options...
WildWind Опубликовано: 9 марта 2015 Автор Рассказать Опубликовано: 9 марта 2015 Урок 6. Умножение в уме любых чисел до 100 Чтобы умножать любые числа до 100 в уме важно быстро подобрать нужный алгоритм. Для удобства этого подбора в данном уроке выделены наиболее удобные случаи для каждой методики умножения. Описанные выше методики можно разделить на универсальные (подходящие для любых чисел) и частные (удобные для конкретных случаев). Универсальные методикиПрименимость универсальных методик умножения чисел до 100 такова: Использование одного опорного числа (Урок 5): все числа в диапазонах до 30, 40-60, 85-100 – если оба множителя рядом с опорным числом.Например: 13*17, 18*23, 29*22, 53*61, 88*97 и т.д. если одно число очень близко к удобному опорному (+/- 3 от 10, 20, 50, 100), второе может быть любым.Например: 21*67 (21 близко к 20), 48*33 (48 близко к 50), 98*32 (98 близко к 100) Использование двух опорных чисел (Урок 5): Если одно опорное число является кратным другому и если одно из опорных чисел является удобным (10, 20, 50, 100)Например: 98*24, 12*44, 43*103, 23*62 Иные числа удобно умножать традиционными методами из третьего урока, когда разряды десятков и единиц не очень большие (Урок 3). Кроме того, традиционный метод удобен, когда вы не знаете, какой другой метод вам применить. Например: 42*32 = 12 (2*4+3*2) 4 = 1344 Частные методикиТакже полезно помнить о частных методиках, существенно упрощающих решение некоторых примеров: Умножение на 10, 20, 25, 50 – должно осуществляться практически на автомате (Урок 2): Например: 88*25 = 2200 (деление на 4)Умножение на 11 всегда по методике из урока 4 Например: 57*11= 5 (5+7) 7 = 627Числа, заканчивающиеся на 5 удобно возводить в квадрат по методу из четверного урока Например: 65*65 = (6*7)25 = 4 225Любые числа удобно возводить в квадрат используя формулы сокращенного умножения четверного урока Например: 69*69 = (70-1)2 = 702 – 70*2*1 + 12 = 4 900-140+1 = 4 761Теперь, вы имеете серьезный алгоритмический аппарат для решения примеров на умножение чисел до 100. Кроме того, вы уже можете умножать и некоторые примеры с множителями больше 100. Главным фактором, влияющим на вашу способность умножать в уме, в дальнейшем должен стать опыт и тренировка. Цитата Ссылка на комментарий Поделиться на других сайтах More sharing options...
WildWind Опубликовано: 9 марта 2015 Автор Рассказать Опубликовано: 9 марта 2015 Урок 7. Возведение в квадрат в уме Умение считать в уме квадраты чисел может пригодиться в разных жизненных ситуациях, например, для быстрой оценки инвестиционных сделок, для подсчета площадей и объемов, а также во многих других случаях. Кроме того, умение считать квадраты в уме может служить демонстрацией ваших интеллектуальных способностей. В данной статье разобраны методики и алгоритмы, позволяющие научиться этому навыку. Квадрат суммы и квадрат разностиОдним из самых простых способов возведения двузначных чисел в квадрат является методика, основанная на использовании формул квадрата суммы и квадрата разности: Для использования этого метода необходимо разложить двузначное число на сумму числа кратного 10 и числа меньше 10. Например: 372 = (30+7)2 = 302 + 2*30*7 + 72 = 900+420+49 = 1 369 942 = (90+4)2 = 902 + 2*90*4 + 42 = 8100+720+16 = 8 836 Практически все методики возведения в квадрат (которые описаны ниже) основываются на формулах квадрата суммы и квадрата разности. Эти формулы позволили выделить ряд алгоритмов упрощающих возведение в квадрат в некоторых частных случаях. Квадрат близкий к известному квадратуЕсли число, возводимое в квадрат, находится близко к числу, квадрат которого мы знаем, можно использовать одну из четырех методик для упрощенного счета в уме: На 1 больше:Методика: к квадрату числа на единицу меньше прибавляем само число и число на единицу меньше. 312 = 302 + 31 + 30 = 961 162 = 152 + 15 + 16 = 225 + 31 = 256 На 1 меньше:Методика: из квадрата числа на единицу больше вычитаем само число и число на единицу больше. 192 = 202 – 19 – 20 = 400 – 39 = 361 242 = 252 – 24 – 25 = 625 – 25 – 24 = 576 На 2 большеМетодика: к квадрату числа на 2 меньше прибавляем удвоенную сумму самого числа и числа на 2 меньше. 222 = 202 + 2*(20+22) = 400 + 84 = 484 272 = 252 + 2*(25+27) = 625 + 104 = 729 На 2 меньшеМетодика: из квадрата числа на 2 больше вычитаем удвоенную сумму самого числа и числа на 2 больше. 482 = 502 – 2*(50+48) = 2500 – 196 = 2 304 982 = 1002 – 2*(100+98) = 10 000 – 396 = 9 604 Все эти методики можно легко доказать, выведя алгоритмы из формул квадрата суммы и квадрата разности (о которых сказано выше). Квадрат чисел, заканчивающихся на 5Чтобы возвести в квадрат числа, заканчивающиеся на 5. Алгоритм прост. Число до последней пятерки, умножаем на это же число плюс единица. К оставшемуся числу приписываем 25. 152 = (1*(1+1)) 25 = 225 252 = (2*(2+1)) 25 = 625 852 = (8*(8+1)) 25 = 7 225 Это верно и для более сложных примеров: 1552 = (15*(15+1)) 25 = (15*16)25 = 24 025 Квадрат чисел близких к 50Считать квадрат чисел, которые находятся в диапазоне от 40 до 60, можно очень простым способом. Алгоритм таков: к 25 прибавляем (или вычитаем) столько, насколько число больше (или меньше) 50. Умножаем эту сумму (или разность) на 100. К этому произведению добавляем квадрат разности числа, возводимого в квадрат, и пятидесяти. Посмотрите работу алгоритма на примерах: 442 = (25-6)*100 + 62 = 1900 + 36 = 1936 532 = (25+3)*100 + 32 = 2800 + 9 = 2809 Квадрат трехзначных чиселВозведение в квадрат трехзначных чисел может быть осуществлено при помощи одной из формул сокращенного умножения: Нельзя сказать, что этот способ является удобным для устного счета, но в особо сложных случаях его можно взять на вооружение: 4362 = (400+30+6)2= 4002 + 302 + 62 + 2*400*30 + 2*400*6 + 2*30*6 = 160 000 + 900 + 36 + 24 000 + 4 800 + 360 = 190 096 Автор: Евгений Буянов Цитата Ссылка на комментарий Поделиться на других сайтах More sharing options...
WildWind Опубликовано: 9 марта 2015 Автор Рассказать Опубликовано: 9 марта 2015 Видео примеры как считать в умеНиже приведены некоторые видео с интересными примерами по устному счету, позволяющие научиться считать достаточно сложные задачи в уме. Простой способ умножения некоторых чисел…В этом видео показано несколько интересных примеров, как умножать устно. Автор показывает задание и дает вам немного подумать, а после этого рассказывает свое быстрое решение этого примера. Тут показано, как 37 умножить на 33, 56 умножить на 54, 21 умножить на 29, 112 умножить на 118, затратив на решение всего 3-5 секунд! Методика автора проста. К примеру, чтобы умножить 33 на 37 нужно просто 3 умножить число на 1 больше 3-х (то есть на 4), а потом дописать произведение 3-х и 7-и. Получается (3*4)(3*7)=1221. Однако не спешите применять этот алгоритм, так как он подходит далеко не для каждого примера. В большинстве случаем лучше применять методы устного счета, описанные в Уроке 6 нашего сайта. Видео на английском. Цитата Ссылка на комментарий Поделиться на других сайтах More sharing options...
WildWind Опубликовано: 9 марта 2015 Автор Рассказать Опубликовано: 9 марта 2015 Умножение больших чисел Этот видео ролик автор, Ирина Кулакова, посвятила оригинальному алгоритму умножения больших чисел с использованием матриц. Кроме того, она рассказывает про российский, итальянский и индийский методы умножения. Учтите, что умножение больших чисел этими способами - процедура трудоемкая и требует внимательности и хорошего развития памяти. Умножение на девяткиВсе знают, что умножение любого числа на 9 – дело простое даже для устного счета. Достаточно умножить число на 10 и вычесть из полученного результата само число. А если нужно умножить на 99? Или на 9999999? Видео на индийском английском (не пугайтесь). Цитата Ссылка на комментарий Поделиться на других сайтах More sharing options...
WildWind Опубликовано: 9 марта 2015 Автор Рассказать Опубликовано: 9 марта 2015 Умножение на числа от 11 до 20 Как умножить любое число на число от 11 до 20 показано в этом видео. Для совершенствования навыков счета в уме это видео будет чрезвычайно полезно. Как быстро можно умножать? И на последок предлагаю вам посмотреть видео, где Артур Бенджамин показывает своё умение считать в уме. http://4brain.ru/schitat-v-ume/video.php http://www.ted.com/talks/lang/ru/arthur_benjamin_does_mathemagic Цитата Ссылка на комментарий Поделиться на других сайтах More sharing options...
WildWind Опубликовано: 9 марта 2015 Автор Рассказать Опубликовано: 9 марта 2015 1001 задача Рачинского На этом сайте выложено известное количество задач, решить которые вам помогут логика и умение считать в уме. Эти задачи позволят хорошенько отшлифовать навыки полученные вами при прохождении уроков на нашем сайте. Ссылка Видео-примеры счета в умеНа этом канале YouTube вы можете найти интересные видео, на которых индийский специалист объясняет некоторые методики как считать в уме. Ссылка Цитата Ссылка на комментарий Поделиться на других сайтах More sharing options...
WildWind Опубликовано: 9 марта 2015 Автор Рассказать Опубликовано: 9 марта 2015 Cчитайте в уме как компьютер Одной из немногих хороших книг по устному счету является книга Билла Хэндли "Считайте в уме как компьютер". Как признается сам автор, на написание книги его вдохновили методы из работы Якова Трахтенберга, с которыми он ознакомился еще в детстве. Однако предложенные в этой книге приемы отличаются система быстрого счета по Трахтенбергу. Основной методикой счета в уме автор признает опорные числа... Читать дальше... Цитата Ссылка на комментарий Поделиться на других сайтах More sharing options...
WildWind Опубликовано: 9 марта 2015 Автор Рассказать Опубликовано: 9 марта 2015 Статьи по устному счету Статьи в блоге Приближённые вычисления в жизненных ситуациях Вопросы Ферми Число 142857 Уроки математики для малышей Картина «Устный счет» Богданова-Бельского Самые популярные числа. Рейтинг топ-10 Умножение на 11Для того, чтобы умножать на 11 существует специальный метод, позволяющий совершать операции даже с очень большими множителями. Для начала продемонстрирую пример того, как можно умножить на 11 любое двузначное число. Читать дальше... Как решить в уме систему?В рассказе Антона Павловича Чехова «Репетитор» есть один очень хороший пример счета в уме, а точнее комбинации навыков устного счета и умения считать на русских деревянных счетах. Читать дальше... Японское или китайское умножениеВ России мы привыкли умножать числа традиционным способом, которому нас учили в школе, записывая числа-множители столбиком. Однако в азиатских странах, таких как Япония и Китай принято считать иначе. Для созерцательного восточного менталитета важна непременная визуализация. Даже общепризнанные в мире арабские цифры китайцы и японцы записывают иероглифами. Именно с особенностью азиатской графической системы связан японский и китайский способ умножения чисел. Читать дальше... Решение задачи РачинскогоНа картине Николая Петровича Богданова-Бельского «Устный счёт. В народной школе С. А. Рачинского», написанной в 1895 году, сельские школьники решают очень интересный пример. Видно, что им он дается непросто. Похоже, только один парень из одиннадцати одноклассников догадался, как решать этот пример в уме. А вы сможете найти простое решение этой задачи Рачинского? Читать дальше... Задачи школы РачинскогоСергей Александрович Рачинский, российский ученый, математик и педагог, живший в конце XIX века известен тем, что он создал серию задач, направленных на развитие умения считать в уме. В данном разделе, посвященном устному счету, задачи Рачинского можно применять для того, чтобы отшлифовать свой навык на практике. Читать дальше... Как считать на счетахВ данной статье вы прочитаете, как научиться правильно считать на русских счетах. Вероятно, многие молодые люди ни разу не видели живьем такой арифметический инструмент, как счеты. А кто и видел, скорее всего, не знает, что с помощью этого инструмента можно научиться быстро складывать, вычитать и даже умножать и делить достаточно большие числа. Читать дальше... Последовательности Рачинского для счета в умеДля решения знаменитой задачи Рачинского можно также использовать и дополнительные знания о закономерностях суммы квадратов. Речь идет именно о тех суммах, которые называются последовательностями Рачинского. Так математически можно доказать, что следующие суммы квадратов равны: Читать дальше... Цитата Ссылка на комментарий Поделиться на других сайтах More sharing options...
Рекомендованные сообщения
Присоединяйтесь к обсуждению
Вы можете опубликовать сообщение сейчас, а зарегистрироваться позже. Если у вас есть аккаунт, войдите в него для написания от своего имени.